УДК 519.622.2 +519.876.2+004.056.57

 

Г. П. Чуйко,

д. ф. - м. н, професор, зав. кафедри, Чорноморський державний університет імені Петра Могили, м. Миколаїв, Україна

О. В. Дворник,

к. ф. - м. н,  доцент, Чорноморський державний університет імені Петра Могили, м. Миколаїв, Україна

С. І. Шиян,

аспірант, Чорноморський державний університет імені Петра Могили, м. Миколаїв, Україна

 

ПРАКТИЧНІ ПИТАННЯ ДЕРЖАВНОГО УПРАВЛІННЯ ПАНДЕМІЧНИМИ СИТУАЦІЯМИ

 

G. P. Chuiko,

Dr. Sci., Prof., Head of Dep., Petro Mohyla BlackSea State University, Mykolayiv, Ukraine

O. V. Dvornik,

Ph.D.,  Assoc. Prof., Petro Mohyla BlackSea State University, Mykolayiv, Ukraine

S. I. Shyan,

post graduate student, Petro Mohyla BlackSea State University, Mykolayiv, Ukraine

 

PRACTICAL QUESTIONS OF PUBLIC ADMINISTRATION OF THE PANDEMIC SITUATIONS

 

У межах широко відомої математичної  моделі (так званої SIR- моделі Кермака и Мак-Кендрика) аналізуються умови виникнення та особливості динаміки епідемій різного типу, включно з «пандеміями», зумовленими комп’ютерними вірусами. Засобами системи комп’ютерної математики MAPLE SIR-модель адаптовано для отримання кількісних оцінок таких параметрів реальних та комп’ютерних епідемій, які дозволяють відповісти на низку важливих практичних питань, котрі передусім цікавлять епідеміологів та  органи державної влади.

 

In terms of the well-known mathematical SIR-model was analyzed the conditions of appearing and features of dynamics as for different «pandemics» including those caused by computer viruses. The mathematical SIR-model was adapted to produce numerical estimates by tools of computer mathematics system MAPLE for some epidemics parameters answering on the row of practical questions, which are interesting   for epidemiologists and public administrators primarily.

 

Ключові слова: SIR-модель, епідеміологічна ситуація, запобігання виникнення та розповсюдження епідемії, вакцинація,  пандемія, тривалість пандемії, постраждалі під час пандемії, сприйнятливі, інфіковані, резистивні.

 

Key words:  SIR-model, epidemiological situation, preventing emergence and spread of epidemic, pandemic, pandemic duration, affected people during the epidemic, susceptible, infected, recovered, vaccination.

 

 

Постановка проблеми. Випадки виникнення епідеміологічної ситуації в замкненому соціумі, розповсюдження вірусів у замкненій комп’ютерній мережі, ситуації спланованого зовнішнього впливу на агентів у соціальних мережах (Internet-мережі, «фінансові піраміди», релігійні секти та культи, рекламні компанії, навмисне розповсюдження чуток  тощо) і, навіть, планування розвитку економічної ситуації – є проблемами ефективного управління на державному рівні, яка ще й сьогодні не отримала остаточного вирішення.

Під час раптового виникнення епідемії, або спланованої дії на агентів соціуму, ситуація на уражених територіях (анклавах, мережах) може різко змінюватися, формуючи складні надзвичайні обставини зі швидко змінною динамікою. Такі обставини є надзвичайно важкими для прогнозування та управління, особливо на фоні дефіциту часу та ресурсів, необхідних для протидії епідеміям. За таких умов непрофесійні дії органів влади можуть негативним чином вплинути на організацію та реалізацію мір боротьби із патогенами (шкідливими агентами), знизити ефективність «швидкої допомоги» постраждалим [1, 2].

Відомі математичні моделі виникнення та розвитку «пандемічних» ситуацій дозволяють прогнозувати динаміку спалахів, оцінювати їх критичні параметри. Однак, досі залишається проблема адаптації таких математичних моделей, які звичайно пишуться математиками і для математиків,  з метою отримання конкретних чисельних розрахунків, необхідних практикам.  Така адаптація  стала можливою лише після появи потужних сучасних математичних середовищ комп’ютерної математики.

Аналіз досліджень і публікацій. Модель SIR - це відносно проста математична модель, яка була детально розглянута в багатьох роботах, зокрема й [3-5], придатна для опису процесу розвитку епідемії деякої інфекційної хвороби у відносно великій, але замкненій популяції (анклаві). Модель розглядає відносно короткі інтервали часу, на яких процесами народжуваності та смертності можна нехтувати.

SIR- модель в принципі здатна дати відповідь на декілька практично важливих для органів влади прогностичних питань. Такими питаннями вважаються:

1. Чи почнеться «пандемія», чи вона згасне сама собою, якщо на початку серед населення домінують сприйнятливі до «інфікування» люди (об’єкти) з відомими невеликими частками інфікованих та резистивних? 

2. Чи залишиться наприкінці «пандемії» якась частка неуражених впливом-хворобою сприйнятливих людей, чи  перехворіють  всі сприйнятливі? 

3. Якою буде пікова (максимальна) частка інфікованих, якщо «пандемія» розпочнеться?

4. Як довго триватиме «пандемія», та її окремі етапи, якщо вона розпочнеться?

Метою цієї роботи є прогнозування перебігу «пандемічних» подій у соціумі  розрахунками кількісних критеріїв, які дозволяють відповісти на всі поставлені вище прогностичні запитання, виходячи з системи диференціальних рівнянь SIR-моделі, і розробити низку ефективних заходів держаного управління розвитком «пандемічних» ситуацій на кожному з етапів.

Виклад основного матеріалу. Розглянута модель припускає, що популяція складається лише з трьох видів індивідуумів: ,,, які є функціями часу і задовольняють певній системі диференціальних рівнянь [1]:

1.  - кількість людей (комп’ютерів або агентів у мережі) сприйнятливих (susceptible) до інфекції (впливу), які ще не захворіли, але можуть незабаром захворіти;

2.  - кількість інфікованих (infected) людей, які вже захворіли і здатні інфікувати сприйнятливих;

3.  - резистивні (recovered) люди, які не інфікують інших. Такі люди можуть мати природний імунітет, або вони одужали від хвороби і стати нечутливими до повторної інфекції, або вони можуть хворіти самі, але нездатні до передачі інфекції (наприклад, внаслідок ізоляції від загалу популяції в карантині), або ж вони, на жаль, померли внаслідок хвороби. Математична модель не розрізняє цих випадків, поєднуючи їх в підмножину . В англомовних джерелах цю категорію частіше позначають як removed patients - виключені пацієнти [6], або інколи як recovered people [7] - люди, які видужали.

Модель є коректною на такому достатньо короткому часовому інтервалі і оперує вказаними вище параметрами. Важливим є ще один безрозмірний параметр, відомий в теоретичній епідеміології як базовий коефіцієнт відтворення [8]:

 

.                                           (1)

 

де  і - позитивні коефіцієнти – частота контактів та частота ізоляції відповідно,

 - початкова частка сприйнятливих, яка найчастіше близька до одиниці (кількість резистивних та інфікованих в початковий момент малі порівняно з одиницею).

Вважається, що «пандемія»  розвивається, якщо виконується умова , за протилежної нерівності епідемія спонтанно згасає в часі. У таблиці 1 наведені числові значення для базового коефіцієнту відтворення   для найбільш відомих і досліджених захворювань та комп’ютерних вірусів.

 

Таблиця 1.

Значення коефіцієнту відтворення

 

Висновки адаптованої SIR-моделі дозволяють органам державного управління вчасно вжити такі практичні засоби профілактики та протидії епідемій (кожен окремо, або в їх комбінації):

– збільшити коефіцієнт ізоляції інфікованих , тоді швидкість появи нових хворих буде меншою від швидкості їх ізоляції;

– зменшити частоту контактів інфікованих та сприйнятливих  (наприклад, застосування дихальних масок значно зменшує частоту інфікування грипом);

– зменшити частку сприйнятливих  (отже, збільшити частку резистивних) серед популяції, наприклад шляхом щеплення (імунізації), при цьому непотрібно імунізувати всіх, достатньо імунізувати мінімальну частку, аби знизити базовий коефіцієнт відтворення до значень менших одиниці.

Базовий коефіцієнт відтворення  та мінімальна частка (фракція) людей, яку потрібно імунізувати для виключення спалаху епідемії  просто пов’язані між собою:

 

,                                                   (2)

 

Вираз (2) має назву формули Дікмана-Хеерстербека [6].

Перелічені вище засходи зменшують базовий коефіцієнт відтворення  (1), отже, й мінімальну частку населення, яку треба імунізувати для впевненого виключення «пандемії» в популяції.

Пікове значення частки інфікованих тим більше, а частка не інфікованих після закінчення епідемії сприйнятливих тим менша, чим більшим є базовий коефіцієнт відтворення [1]. При  вже можна вважати, що перехворіють практично усі сприйнятливі.

Момент часу, в який епідемія сягає свого максимуму  визначається декількома умовами та складними спеціальними математичними функціями [1]. У деякому спрощенні це є момент піку частки інфікованих Розрахунки для різних практично цікавих випадків наведені у таблицях 2-5  нижче.

«Пандемію» можна вважати подоланою в момент часу, коли кількість інфікованих повертається до деякого прийнятного значення [1].

Одиниці вимірювання часу визначаються одиницею вимірювання коефіцієнта ізоляції . За звичай це доби, інколи години.

Результати комп’ютерних розрахунків за адаптованою моделлю [1], наведені у таблицях 2-5.

 

Таблиця 2.

Результати розрахунків числових значень параметрів SIR-моделі за умов: γ=0.5, початкова фракція інфікованих i0=0.001 

 

Таблиця 3.

Результати розрахунків числових значень параметрів SIR-моделі за умов: γ=0.9, початкова фракція інфікованих i0=0.001

 

Таблиця 4.

Результати розрахунків числових значень параметрів SIR-моделі за умов: γ=0.1, початкова фракція інфікованих i0=0.001

 

Таблиця 5.

Результати розрахунків числових значень параметрів SIR-моделі за умов:  γ=0.5, початкова фракція інфікованих i0=0.01

 

Висновки. Виходячи з викладеного вище, відповіді на поставлені на початку статті прогностичні питання є такими:

1. «Пандемія» починається, якщо базовий коефіцієнт відтворення  перевершує одиницю: . Якщо цей коефіцієнт не перевершує одиниці, то «пандемія»  згасає сама собою, якщо ж він більший за одиницю, то для виключення епідемії треба  заздалегідь імунізувати (прищепити) певну частку населення, яка визначаєтьсяза формулою Дікмана-Хеерстербека (2) і штучно зменшити значення коефіцієнту до величин, менших одиниці.

2. Після закінчення «пандемії» завжди залишається певна частка сприйнятливих, які уникли інфекції-впливу, втім ця частка швидко зменшується при збільшенні базового  коефіцієнту відтворення , цю нелінійну залежність можна перевести у табличну прогностичну форму для практиків (таблиці 2-5).

3. Пікове значення  інфікованих монотонно і швидко зростає зі збільшенням базового коефіцієнту відтворення  і, значно меншою мірою,  зі збільшенням початкової кількості інфікованих.

4. Тривалість «пандемія», як і інтервал часу, за який вона сягає свого піку, визначаються трьома параметрами: частотою ізоляції хворих, безрозмірним базовим коефіцієнтом відтворення  та початковою фракцією інфікованих  Збільшення кожної з цих величин скорочує тривалість епідемії. Інтегралні вирази [1] дають можливість табулювати ці інтервали в залежності від зазначених параметрів для практичного прогнозування (таблиці 2-5).

 

Література.

1. Чуйко Г.П., Дворник О.В., Шиян С.І. SIR-модель епідемії в ізольованому анклаві // Наукові праці: науково-методичний журнал. – Миколаїв: Вид-во ЧДУ ім. Петра Могили, 2013. – Вип. 201. Т. 213. Комп’ютерні науки. – С. 115-119.

2. Чуйко Г.П., Дворник О.В., Алімова М.Ф. Табулювання епідеміологічних параметрів в межах SIR-моделі. Матеріали Всеукраїнської науково-практичної конференції молодих учених та студентів „Екологічна безпека держави”. Київ, Україна, 16-18 квітня 2013. – Київ. – 2013. – С. 123-124 .

3. Kermack W.O., McKendrick A.G. A contributions to the mathematical theory of epidemics // Proc. Roy. Stat. Soc. A. – 1927. – v. 115. – P. 700-721.

4. Kermack W.O., McKendrick A.G. Contributions to the mathematical theory of epidemics. II. The problem of endemicity // Proc. Roy. Soc. Lond. A. – 1932. – v. 138. – P. 55-83.

5. Kermack W.O., McKendrick A.G. Contributions to the mathematical theory of epidemics. III. Further studies of the problem of endemicity // Proc. Roy. Soc. Lond. A. – 1933. – v. 141. – P. 94-122.

6. Yamaguchi T. Mathematical Models with Maple // Algebraic Biology 2005 / 1^st International Conference on  Algebraic Biology – Computer Algebra in Biology . – Universal Academy Press, Inc. Tokyo, Japan. – 2005. – P. 151–155.

7. Johnson T. Mathematical Modeling of Diseases: Susceptible-Infected-Recovered (SIR) Model [Електронний ресурс] // Math 4901 Senior Seminar, University of Minnesota, Morris, Spring 2009. URL:  http://www.morris.umn.edu/academic/math/Ma4901/Sp09/Final/Teri-Johnson-Final.pdf   (Дата звернення: 20.09.2015).

8. Anderson R.M., May R.M. Infectious diseases of humans: dynamics and control. - Oxford, UK: Oxford University Press, 1991. – 768 p.

9. Paul E. M. Fine. Herd Immunity: History, Theory, Practice // Epidemiol. Rev. – 1993. - v.15, №2. – P. 265-302.

10. Luman E.T., Barker L.E., Simpson D.M., Rodewald L.E., Szilagyi P.G., Zhao Z. National, state, and urban-area vaccination-coverage levels among children aged 19–35 months, United States, 1999 // Am. J. Prev. Med. – 2001. – v.20 (suppl 4). – P. 88–153.

11. Jiles R.B., Fuchs C., Klevens R.M. Vaccination coverage among children enrolled in head start programs or day care facilities or entering school // CDC surveillance summaries (September 22). – MMWR, 2000. – v.49. - № SS-9. – P. 27-38.

12. Wallinga J., Teunis P. Different epidemic curves for severe acute respiratory syndrome reveal similar impacts of control measures // Am. J. Epidemiol. – 2004. – v.160. - №6. – P. 509-16.

13. Mills C.E., Robins J.M., Lipsitch M. Transmissibility of 1918 pandemic influenza // Nature. – 2004. – v.16. - №432(7019). – P. 904-906.

 

References.

1. Chuiko G.P., Dvornik О.V., Shiyan S.І. (2013), Epidemic SIR-model for an isolated enclave, Sci. Proc. of Petro Mohyla Black Sea State Univ., Computer Technologies, 201(213), 115-119 (2013), (in Ukrainian).

2. Chuiko G.P., Dvornik О.V., Shiyan S.І. Alimova M.F. (2013), Tabulatiot of epidemic parameters within SIR-model, State Environmental Safety: abstracts of Ukrainian Scientific Conference of Young Scientists and Students, pp. 113-124, Kuiv, April 16-18 2013, National Aviation University, ed. O.I.Zaporozhets et al. (in Ukrainian).

3. Kermack W.O., McKendrick A.G. (1927), A contributions to the mathematical theory of epidemics, Proc. Roy. Stat. Soc. A, v. 115, pp. 700-721.

4. Kermack W.O., McKendrick A.G. (1932), Contributions to the mathematical theory of epidemics. II. The problem of endemicity, Proc. Roy. Soc. Lond. A, v. 138, pp. 55-83.

5. Kermack W.O., McKendrick A.G. (1933), Contributions to the mathematical theory of epidemics. III. Further studies of the problem of endemicity, Proc. Roy. Soc. Lond. A,  v. 141, pp. 94-122.

6. Yamaguchi T. (2005), Mathematical Models with Maple, Algebraic Biology 2005 / 1^st International Conference on Algebraic Biology – Computer Algebra in Biology, Universal Academy Press, Inc. Tokyo, Japan, pp. 151–155.

7. Johnson T. (2009), Mathematical Modeling of Diseases: Susceptible-Infected-Recovered (SIR) Model, Math 4901 Senior Seminar, University of Minnesota, Morris, Spring 2009. URL:  http://www.morris.umn.edu/academic/math/Ma4901/Sp09/Final/Teri-Johnson-Final.pdf  (20.09.2015).

8. Anderson R.M., May R.M. (1991), Infectious diseases of humans: dynamics and control, Oxford, UK: Oxford University Press, 1991. – 768 p.

9. Paul E. M. Fine (1993), Herd Immunity: History, Theory, Practice, Epidemiol. Rev, v.15, №2, pp. 265-302.

10. Luman E.T., Barker L.E., Simpson D.M., Rodewald L.E., Szilagyi P.G., Zhao Z. (1999), National, state, and urban-area vaccination-coverage levels among children aged 19–35 months, United States, 1999, Am. J. Prev. Med, v.20 (4), pp. 88–153.

11. Jiles R.B., Fuchs C., Klevens R.M. (2000), Vaccination coverage among children enrolled in head start programs or day care facilities or entering school, CDC surveillance summaries (September 22) – MMWR, v.49, № SS-9, pp. 27-38.

12. Wallinga J., Teunis P. (2004), Different epidemic curves for severe acute respiratory syndrome reveal similar impacts of control measures, Am. J. Epidemiol, v.160, №6, pp. 509-16.

13. Mills C.E., Robins J.M., Lipsitch M. (2004), Transmissibility of 1918 pandemic influenza, Nature, v.16, №432(7019), pp. 904-906.

 

Стаття надійшла до редакції 19.09.2015р.