EnglishНа русском

Ефективна економіка № 5, 2017

УДК 330.43+336.764.2

 

В. С. Янішевський,

к. фіз.-мат. наук, доцент, доцент кафедри технологій управління,

Львівський національний університет «Львівська політехніка» , м. Львів

 

МЕТОД ЗБУРЕНЬ В МОДЕЛІ ЦІНОУТВОРЕННЯ КОНВЕРТОВАНОЇ ОБЛІГАЦІЇ

 

V. S. Yanishevsky,

Candidate of Physico-Mathematical Sciences,

Associate Professor at the Department of Management Technologies of National University “Lviv Politechnic”, Lviv

 

THE PERTURBATION METHOD IN CONVERTED BOND PRICING MODEL

 

Досліджена модель ціноутворення конвертованої облігації, що ґрунтується на моделі Кокса–Інгерсолла–Росса для процентної ставки та моделі геометричного броунівського руху для ціни акції. Показано, що дана модель ціноутворення облігації має точний розв’язок у випадку нульової кореляції вінерівських процесів. Для функція Гріна рівняння динаміки ціни облігації побудований ряд збурень за параметром кореляції вінерівських процесів. В якості нульового наближення використано точні розв’язки відомої моделі радіального осцилятора квантової механіки. Ряд збурень для функції Гріна має вигляд спектрального  розвинення за спектральними елементами задачі нульового наближення. Шляхом апроксимації скінченною кількістю спектральних елементів та використання формули розвинення Магнуса для експонентної матриці отримані вирази зручні для практичних розрахунків. Наведена формула ціни конвертованої облігації європейського стилю.

 

A converted bond pricing model, which is based on Cox-Ingersoll-Ross model of interest rate and on geometric Brownian motion model of stock price is investigated. It was shown that the presented bond pricing model has an exact solution in case of zero correlation of Wiener processes. A perturbation series in terms of parameter of correlation of Wiener processes was built for Green’s function of price bond dynamics equation. As a zero-th approximation the exact solutions of a well-known quantum mechanics model of radial oscillator was used. The perturbation series for Green’s function has a form of spectral expansion in terms of spectral elements of zero approximation problem. By approximating with a finite number of spectral elements and using Magnus expansion formula for exponential matrix, we received convenient expressions for practical calculations. A formula of price of converted bond of European-style was given.

 

Ключові слова: конвертована облігація, стохастичні рівняння, геометричний броунівський рух, модель Кокса–Інгерсолла–Росса, безризиковий портфель, теорія збурень.

 

Keywords: convertible bond, stochastic equations, geometric Brownian motion, Cox-Ingersoll-Ross model, risk-free portfolio, perturbation theory.

 

 

Постановка проблеми

Дослідження ціноутворення фінансових активів, фінансових інструментів чи похідних фінансових інструментів належать до важливих завдань фінансової теорії. В основі сучасної фінансової теорії лежать моделі ефективного ринку, методів хеджування на фінансовому ринку. Важливим досягненням у розвитку теорії дослідження фінансових ринків стала модель Блека–Шоулза ціноутворення опціонів [1, 2, 3]. З роботою Блека–Шоулза пов’язане економічне обґрунтування поняття справедливої ціни опціону, в якій сформульована ідея побудови безризикового портфелю. Зазначена ідея набула розвитку і є основною при дослідженні ціноутворення різноманітних фінансових інструментів: акцій,  облігацій, опціонів, ф’ючерсів, як базових активів так і похідних фінансових інструментів [2-5]. Метод побудови безризикового портфелю служить певним принципом на основі якого разом з використанням стохастичних диференціальних рівнянь, методів стохастичного аналізу будується рівняння цінової динаміки відповідного фінансового інструменту. Завдяки зазначеному підходу отримані важливі теоретичні і практичні результати так і їх практичне застосування до аналізу фінансових ринків.

 

Аналіз останніх досліджень і публікацій

Як ми вже зазначали, бурхливий розвиток в дослідженні ціноутворення фінансових інструментів відбувся після роботи  Блека і Шоулза з відкриттям моделі ціноутворення опціонів. Після цього були запропоновані моделі стохастичної волатильності, що узагальнювали модель Блека–Шоулза. Запропоновані ідеї були застосовані для задач визначення дохідності облігацій, часової структури процентних ставок та інше. Відповідно з потребами опису різноманіття фінансових інструментів були запропоновані моделі, які розвивали та доповнювали існуючі [1, 3, 6].

Отримати точні розв’язки рівнянь цінової динаміки, які є диференціальними рівняннями в частинних похідних декількох змінних, вдається лише у небагатьох випадках. Серед них вже згадувана модель Блека–Шоулза, моделі Васічека та Кокса–Інгерсолла–Росса процентних ставок та ряд інших, які відносяться також до однофакторних моделей. Серед двофакторних моделей, які допускають точний розв’язок – це, зокрема, модель Гестона для опціонів зі стохастичною динамікою волатильності [1], модель Васічека ціни конвертованої облігації [4, 7, 8].

У більшості моделей, зокрема двофакторних так і багатофакторних використовуються  наближені методи пошуку розв’язків. Зокрема, у загальній моделі стохастичної волатильності ціноутворення опціонів [1] використовується метод розвинення, де стохастична складова волатильності вважається малим параметром, тобто в нульовому наближенні отримуються результати моделі Блека-Шоулза. В роботі [9] аналізувались деякі часткові випадки моделі Мертона-Кармана ціноутворення опціонів на наявність точних розв’язків та визначення параметрів для побудови наближених розвинень за ними. Також при дослідженні рівнянь цінової динаміки ефективно використовуються різні чисельні схеми розв’язування [3, 10], методи імітаційного моделювання [3, 11]. Зазначимо, що цінність таких методів зростає у сукупності з аналітичними чи аналітично – апроксимаційними методами дослідження.

 

Постановка задачі

В даній роботі для аналізу моделі конвертованої облігації застосовано підхід, який використовувався в роботі [9] для дослідження моделей опціонів. Рівняння ціноутворення облігації подібно рівнянню Шредінгера квантової механіки [12, 13] є рівняннями еволюційного типу. Тому для його аналізу можна використати методи розвинуті для задач квантової механіки. Для рівнянь квантової механіки наведена детальна класифікація одновимірних моделей, для яких існують точні розв’язки, а також розвинуті методи побудови наближених розв’язків. Такий підхід застосуємо до аналізу рівняння ціни конвертованої облігації в моделі Кокса–Інгерсолла–Росса процентної ставки. Такими чином визначено нульове наближення, де має місце точний розв’язок та вказано параметр розвинення для побудови наближених розв’язків. Зазначимо, що досліджена нами двофакторна модель конвертованої облігації розглядалась в роботах [4, 7], проте розв’язки не наводились через її суттєву складність.

  

Виклад основного матеріалу

В досліджуваній моделі конвертованої облігації [4, 7] вважається, що ціна облігації  в момент часу є функцією двох факторів: процентної ставки  і ціни акції . Фактори ,  є випадковими величинами, динаміка яких моделюється за допомогою стохастичних рівнянь (для простоти запису часову змінну не будемо вказувати). Зміна ціни акції відбувається за рівнянням геометричного броунівського руху:

 

,                                                           (1)

 

де – волатильність ціни акцій, величина – дрейф ціни, вказані величини вважаються постійними.

Стохастична динаміка процентної ставки  описується наступним рівнянням:

 

 .                                                       (2)

 

Тут величини дрейфу  і волатильності  поки що невизначені функції процентної ставки. Величини ,  у рівняннях (1) і (2) є стандартними вінерівськими процесами, які визначаються характеристиками:

 

,

 

де  – параметр кореляції () стохастичних процесів,  дужки  позначають середні значення величин.

Як ми вже зазначали, для побудови рівняння динаміки ціни облігації  формується безризиковий портфель. Вказаний портфель містить  конвертовану облігацію з терміном погашення , кількість  безкупонних облігацій з терміном погашення  та базовий актив у кількості 

 

.                                                                  (3)

 

Хеджування ризиків зміни процентної ставки і базового активу означає, що зміна портфелю повинна відбуватися за безризиковою ставкою (відсутність стохастичних доданків):

 

.                                                                             (4)

 

Методами стохастичного аналізу на основі портфеля (3), умови безризиковості (4), а також вибором величин «дельта» у вигляді:

 

,

 

в роботах [4, 6] було отримано наступне рівняння динаміки ціни конвертованої облігації

 

        (5)

 

Величина  у рівнянні (5) є ринковою ціною ризику зміни процентної ставки. Відповідно величина  визначає дрейф для процентної ставки (2) з поправкою на ринковий ризик. Розв’язок рівняння (3) розглядається для часу , де – момент часу погашення облігації. Вибір величин ,  у рівнянні (5), де  – сталі величини відповідає відомій моделі Кокса–Інгерсолла–Росса для процентної ставки :

 

.                                                                                           (6)

 

В задачах цінової динаміки «початкова» умова задається, як правило в момент погашення облігації, тому у рівнянні (5) зручно здійснити заміну , де – час, що залишився до погашення облігації. В результаті рівняння (5) для ціни облігації набере вигляду:

 

             (7)

 

Типовою для рівняння (6) є постановка задачі Коші, де початкова умова  здається в момент часу  (). У випадку конвертованих облігацій європейського стилю початкову умову задаємо у вигляді , де  – ринкова ціна акції в момент погашення облігації, а  – номінальна ціна конвертованої облігації, – коефіцієнт конверсії [3, 4].

 

Спектральне розвинення функція Гріна рівняння ціни конвертованої облігації

 

Рівняння (7) набуде простішого вигляду, якщо перейти до відносних величин, тобто виконати заміну змінної , . В результаті коефіцієнти рівняння не залежатимуть від змінної  і рівняння після елементарних перетворень набуде вигляду:

 

        (8)

 

Подальше спрощення рівняння (8) ґрунтується на тому, що коефіцієнти рівняння не залежать від змінної . Зокрема, здійснимо перетворення Фур’є для ціни  за змінною :

 

.

Після підстановки у рівняння (8) для Фур’є-зображення отримаємо наступне рівняння (далі залежність від  для  не вказуємо) :

 

                           (9)

 

В результаті ми отримали (9) диференціальне рівняння в частинних похідних другого порядку параболічного типу, коефіцієнти якого залежать від  як від параметра.

Для наступного спрощення рівняння скористаємось аналогіями з відомими моделями квантової механіки [12, 13]. З цією метою зведемо його до канонічного вигляду за допомогою ряду перетворень. З цією метою усунемо коефіцієнт  біля доданка з другою похідною з допомогою заміни змінної . Для функції збережемо те саме позначення , пам’ятаючи, що вона залежить від змінної .

 

               (10)

 

Наступним кроком позбудемося у рівнянні (10) доданка з першою похідною за , а також сталих доданків (незалежних від ) у коефіцієнті біля . Для цього у рівнянні (10) здійснимо підстановку

 

.                                                                                             (11)

 

Неважко показати, якщо функції  задати у вигляді:

 

, ,

 

то рівняння для функції  набуде вигляду:

 

.                                                         (12)

 

У рівнянні (12) введено також наступні позначення:

 

; ; .

 

Отримане рівняння (11) подібне до рівняння руху частинки квантової механіки у потенціалі

 

.                                                                               (13)

 

Використовуючи аналогію з моделями квантової механіки, вираз (13) можна розглядати як суму потенціалу гармонічного радіального осцилятора і збурення . Таке розділення виглядає природнім, оскільки задача гармонічного радіального осцилятора має точний розв’язок, а доданок  пропорційний коефіцієнту кореляції . В результаті випливає спосіб побудови наближеного розв’язку задачі – використання розвинення за параметром . Тобто потенціал радіального осцилятора розглядається в якості нульового наближення, а доданок  –  збурення задачі. Нагадаємо, що для радіального гармонічного осцилятора відома [12, 13] система власних функцій  і власних значень

 

,                                                   (14)

 

,

 

, () ,

 

де  – приєднані поліноми Лагерра,  – гама-функція [14].

Система власних функцій  є повною і ортонормованою на півосі . За цією системою можна розвинути в ряд нульове наближення () задачі:

 

.                                                      (15)

 

Коефіцієнти розвинення  визначено через значення розв’язку в початковий момент часу . Підставляючи значення  у формулу для ряду, отримаємо:

 

.

 

Тут  – функція Гріна радіального осцилятора, задана у формі спектрального розвинення [12].

Загальний розв’язок рівняння (12) також можна подати у вигляді (15), проте в цьому випадку коефіцієнти  будуть функціями часової змінної.

 

.                                                                                         (16)

 

Підставляючи ряд (16) у формулу (12), отримаємо систему диференціальних рівнянь для визначення коефіцієнтів :

 

,                                                                                    (17)

 

де позначено матричні елементи  для збурення .

Введемо також заміну змінних  у (17), тоді система рівнянь для  набере вигляду:

 

.                                                                                 (18)

 

Систему рівнянь (18) запишемо також у матричній формі

 

.                                                                                                        (19)

 

Тут  позначає вектор-стовпець ;  – матриця з елементами: , діагональні елементи в якої рівні нулю ; – позначає дію транспонування.

               У загальному випадку, коли матриця системи  залежить від часової змінної, для системи (19) не існує простих методів пошуку розв’язків [15]. У загальному випадку розв’язок (19) можна записати у вигляді

 

.                                                                                                       (20)

 

Тут  – вектор початкових значень;  – матриця, яка виражається через матрицю  і має місце рівність . Спосіб побудови матриці  розглянемо далі. Тепер же із урахуванням формул (17-20) запишемо розв’язок (14) у такому вигляді:

 

.                                                                 (21)

 

Відповідно для розв’язку рівняння (10) використовуючи формулу (21) та перетворення (11) для  отримаємо:

 

.                                                                                           (22)

 

Тут  – початкове значення функції, а  – функція Гріна диференціального рівняння (10). Для зазначеної функції Гріна отримано спектральне розвинення:

 

.                  (23)

 

Легко бачити, якщо покласти збурення , то формула (23) перейде у функцію Гріна нульового наближення. Отримана формула є формально точною, у ній поки не виконувались жодні наближення. Основна трудність її застосування полягає у побудові матриці  та підсумовуванні нескінченних рядів.

Очевидно, для отримання функції Гріна рівняння (8) необхідно виконати обернене перетворення Фур’є для (23) і перейти до змінної процентної ставки  (заміна ). Щодо оберненого перетворення Фур’є зазначимо, оскільки коефіцієнти рівняння (8) не залежать від змінної , то функція Гріна рівняння залежатиме лише від різниці змінних

 

.                                                               (24)

 

Зрозуміло, що через складну аналітичну залежність від  виконати у (24) інтегрування у замкнутому вигляді неможливо, тому не існує простої аналітичної залежності для функції Гріна .

 

Формула ціни конвертованої облігації

Отримана формула функції Гріна (23, 24) рівняння динаміки ціни облігації дозволяє розв’язувати різні задачі ціноутворення в залежності від початкових умов. У загальному випадку початкові умови щодо ціни облігації в момент погашення  не містять залежності від процентної ставки  (відповідно від ). Тому інтегрування за  у формулі (22) виконується лише для функції Гріна . Тому, виконуючи вказане інтегрування, перейдемо до Фур’є-зображення функції Гріна

 

.                                                                                            (25)

 

Інтегрування у формулі (23) відноситься до двох множників, результат позначимо

 

.

 

Формула для визначення  наведена в додатку А (формула А.1).

В результаті для функції Гріна визначеній у формулі (25) отримаємо вираз

 

.                                                  (26)

 

Виконуючи обернене перетворення Фур’є для (26) та підстановку  отримаємо функцію Гріна  рівняння (8), що дозволяє дослідити формулу ціни конвертованої облігації. Для цього, як вже вказувалось, слід обчислити інтеграл добутку  і початкової умови (умова задається в момент погашення облігації ). Наприклад для звичайної облігації початкова умова має вигляд , де  – номінальна вартість облігації. Тоді для ціни отримаємо:

 

.

 

Для визначення  потрібно підставити значення  у формулу (26). Легко бачити, що при цьому також , тобто ми переходимо до задачі нульового наближення.

 

.

 

Підставляючи значення  (формула А.3) та функції  (див. формулу 14), отримуємо ряд, який підсумовується [14]. В результаті після спрощень та позначень отримаємо для ціни звичайної облігації вираз:

 

,

 

, .                    (27)

 

Нагадаємо, що  – час, що залишився до погашення облігації. Ми отримали відому формулу для дохідності звичайної облігації в моделі, де процентна ставка описується однофакторною моделлю Кокса–Інгерсолла–Росса [16]. Для конвертованих облігацій європейського стилю, як вже було зазначено, умову задамо у вигляді:

 

.

Зміст умови очевидний – конвертація відбудеться, якщо ринкова вартість акцій буде перевищувати номінальну ціну облігації. Ціна облігації в довільний момент часу  визначається наступним інтегралом:

 

.                                                   (28)

 

Оскільки для функції Гріна , як ми вже зазначали, немає простої аналітичної залежності, подальших спрощень можна досягнути, якщо у формулі (28) здійснити перестановку порядків інтегрування, спершу виконати інтегрування за змінною . Наразі така перестановка порядків є неможливою оскільки інтеграли за  будуть невизначені. Для її виконання необхідно перейти в комплексну площину змінної  і, використовуючи теорему Коші [17], змінити шлях інтегрування. Детально зазначені перетворення наведені в [9] при дослідженні моделі Гестона для опціонів, тому тут їх не наводимо. В кінцевому підсумку для ціни конвертованої облігації отримаємо формулу

 

.                          (29)

 

Формули (26) і (29) дають розв’язок поставленої задачі. Як ми вже зазначали,  вираз (26) для функції Гріна є формально точним, проте мало придатним для практичного застосування, тому необхідно виконати певні наближення.

 

Наближений розрахунок функції Гріна

Для отримання виразів придатних для практичного застосування у формулі (26) для функції Гріна виконаємо наступні наближення.

1. Розвинення для матриці . У загальному випадку для залежних від часу матриць  (19) матрицю (20) можна записати лише у вигляді ряду. Зокрема, розглянемо відоме розвинення Магнуса [15]:

 

,

 

.                                      (30)

 

Наступні доданки містять перестановки добутків трьох, чотирьох і так далі матриць  в різні моменти часу [15]. У нашому випадку матриця  пропорційна параметру кореляції , тим самим ми отримуємо розвинення за цим параметром. Якщо обмежитися першими двома доданками розвинення Магнуса, то це відповідатиме квадратичним наближенням за параметром кореляції .

2. Наступне наближення полягає в обмеженні кількості базисних елементів у формулі (16) певним числом , . Таке наближення обґрунтовується тим, що коефіцієнти  із зростанням номера спадають, і відповідні доданки з більшими номерами у формулі (16) даватимуть менший внесок. В результаті суми у формулі для функцій Гріна (26) міститимуть обмежену кількість доданків, а матриця  буде квадратною матрицею порядку . Конкретний вибір значення  зумовлений точністю, якої досягають при обчисленнях.

В результаті сформулюємо наступний алгоритм наближеного обчислення функції Гріна (26).

А) Розраховуємо матричні елементи збурення :

 

,

 

, , .

 

Матричні елементи   наведені в додатку A (формули А.1).

Б) Наступним кроком формуємо матрицю  і на основі матриці  та формул (30) будуємо матрицю . Для обчислення елементів матричної експоненти  у (26) необхідно розв’язати задачу на власні значення. Нехай  сукупність власних значень матриці , а  – сукупність власних векторів. Тут   –  - вимірні вектори. На основі власних векторів формуємо матрицю подібності , стовпці якої утворені власними векторами . Тоді для матричних елементів отримаємо

 

,

 

де – позначає обернену матрицю,  – діагональна матриця.

Введемо також позначення для векторів:

 

, .

 

Тоді формулу для функції Гріна у вказаному наближенні запишемо у матричній формі

 

.                                                                                        (31)

 

Підставляючи вираз (31) у формулу (29) отримаємо формулу ціни у зазначеному наближенні. Для невеликих значень  (визначає вимірність матриць і векторів у формулі) можна отримати аналітичні залежності з використанням, наприклад, математичного пакету Mathematica. Із збільшенням числа  вирази стають надто громіздкими, тому слід використовувати чисельні розрахунки.

 

Додаток А

 

,

 

 .                      (А.1)

 

Тут позначені:  – гіпергеометрична функція;  – символ Похгаммера [14].

Для обчислення інтегралу у формулі (23) використаємо розвинення для поліномів Лагерра [14]

 

.

 

Тоді для інтегралів, що виникають у (23) введемо позначення

 

.

 

Після інтегрування отримаємо

 

.

 

В результаті для функції  отримаємо вираз

 

.                                                                        (А.2)

 

Тут  – поліноми Ерміта [14], .

У випадку  () вираз для  суттєво спрощується і дорівнює  

 

,                                                           (А.3)

 

де .

Наведені у додатку співвідношення виражаються через спеціальні функції, які нескладно розрахувати з використанням математичного пакету Mathematica із заданою точністю.

 

Висновки                                                            

Досліджена модель ціноутворення конвертованої облігації, у якій динаміка ціни акції моделюється з допомогою геометричного броунівського руху, а зміна процентної ставки на основі моделі Кокса–Інгерсолла–Росса. Диференціальне рівняння для ціни конвертованої облігації було відоме в літературі, проте розв’язки не досліджувались через його складність.

У даній роботі для аналізу рівняння ціни конвертованої облігації використовувався метод аналогій з відомими модельними задачами квантової механіки. Рівняння динаміки ціни облігації та рівняння Шредінгера квантової механіки є еволюційними рівняннями, тому методи дослідження є досить подібними. В результаті застосування зазначеного підходу виявлено, що рівняння ціни конвертованої облігації еквівалентне рівнянню радіального осцилятора з додатковим потенціалом, і загалом для нього не існує точних розв’язків. Показано, що у випадку відсутності кореляцій вінерівських процесів у стохастичних рівняннях моделі, додатковий потенціал рівний нулю і задача має точний розв’язок. Виходячи з цього запропонована схема побудови наближеного розв’язку задачі, де кореляція вінерівських процесів моделі враховується методом збурень.

Для функції Гріна рівняння динаміки ціни побудована формула у вигляді спектрального розвинення за елементами нульового наближення. Наведена також формула для ціни конвертованої облігації, що виражається через інтеграл від Фур’є-зображення функції Гріна. Для практичного застосування отриманих формул запропонований алгоритм, де кількість доданків спектрального розвинення обмежується певним числом, що приводить до скінченних матриць у формулі для функції Гріна. Для експонентної матриці, через яку виражається функція Гріна використана також формула розвинення Магнуса. В кінцевому підсумку для Фур’є-зображення функції Гріна отримано вираз, який зручно аналізувати як аналітично так і чисельно з використанням, наприклад, математичного пакету Mathematica. Задача калібрування моделі, аналізу отриманих формул на основі статистичних даних ринку облігацій буде предметом дослідження окремої роботи.

 

Література.

1. A. L. Lewis. Option Valuation under Stochastic Volatility / A. L. Lewis. – Finance Press, 2000. – 351 р.

2. John C. Hull. Options, futures, and other derivatives/ John C. Hull. – Pearson Prentice Hall, 2012. 869 p.

3. Jan De Spiegeleer. The Handbook of Hybrid Securities: Convertible Bonds, CoCo Bonds and Bail-In / Jan De Spiegeleer, Wim Schoutens, Cynthia Van Hulle. –  Wiley-Finance, 2014. – 410 p.

4. P. Wilmott. Derivatives. The Theory and Practice of Financial Engineering / P. Wilmott. – John Wiley & Sons, Chichester, 1998. – 739 р.

5. William F. Sharpe. Investments / William F. Sharpe Gordon J. AlexanderJeffery V. Bailey. – Prentice Hall, 1998. – 962 p.

6. Eric Chin. Problems and Solutions in Mathematical Finance. Volume 2: Equity Derivatives / Eric Chin, Dian Nel and Sverrir Olafsson. –  Wiley-Finance, 2017. – 845 p.

7. R. Mallier. A Green’s function for a convertible bond using the Vasicek model / R. Mallier and A. S. Deakin // Journal of Applied Mathematics. – 2002. –  vol. 2, no. 5. – P. 219–232.

8. R. Mallier. An Analytic Solution for a Vasicek Interest Rate Convertible Bond Model / R. Mallier and A. S. Deakin // Journal of Applied Mathematics. – 2010. – vol. 10, no. 2. – P. 109-113.

9. В. С. Янішевський. Рівняння динаміки ціни опціону та моделі квантової механіки / В. С. Янішевський // Журнал фізичних досліджень. – 2014. Т. 18, №1. – С. 1005:1-1005:7.

10. K. J. in ’t Hout. ADI finite difference schemes for option pricing in the Heston model with correlation / K. J. in ’t Hout and S. Foulon // International Journal of Numerical Fnalysis and Modeling. – 2010. – vol. 7, no. 2. – P. 303-320.

11. Sergii Kuchuk-Iatsenko. Option pricing in the model with stochastic volatility driven by Ornstein–Uhlenbeck process. Simulation / Sergii Kuchuk-Iatsenko, Yuliya Mishura // Modern Stochastics: Theory and Applications. – 2015. – no. 2. – P. 355-369.

12. H. Kleinert. Path integrals in quantum mechanics, statistics, polymer physics and financial markets / H. Kleinert. – Third edition. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, 2004. – 1932 р.

13. Крылов, Г. Г. Точно и квазиточно решаемые модели в квантовой механике и стохастической динамике / Крылов, Г. Г. – Минск : БГУ, 2011. – 131 с.

14. Абрамовиц М. Справочник по специальным функциям / Абрамовиц М., Стиган И. – М: Наука, 1979. – 834 с.

15. S. Blanes. The Magnus expansion and some of its applications / S. Blanes, F. Casas, J.A. Oteo, J. Ros // Physics Reports. 2009. – 470. P. 151-238.

16. Yuh-Dauh Lyuu. Financial engineering and computation / Yuh-Dauh Lyuu. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. 627 p.

17. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / Владимиров В.С., Жаринов В. В. – М: Физматлит, 2004. – 400 с.

 

Preferenses.

1. Lewis, A. (2000), Option Valuation under Stochastic Volatility, Finance Press, Newport Beach, California, USA.

2. Hull, J. (2012), Options, futures, and other derivatives, 8nd ed., Pearson Prentice Hall, New York, USA.

3. De Spiegeleer, J. Schoutens, W. and Van Hulle, C. (2014), The Handbook of Hybrid Securities: Convertible Bonds, CoCo Bonds and Bail-In, Wiley-Finance, Chichester, UK.

4. Wilmott, P. (1998), Derivatives. The Theory and Practice of Financial Engineering, John Wiley & Sons, Chichester, UK.

5. Sharpe, W. Alexander, G. and Bailey, J. (1998), Investments, 6th ed, Prentice Hall, Upper Saddle River, USA.

6. Chin, E. Nel, D. and Olafsson, S. (2017), Problems and Solutions in Mathematical Finance, Volume 2: Equity Derivatives, Wiley-Finance, Chichester, UK.

7. Mallier, R. and Deakin, A. (2002), “A Green’s function for a convertible bond using the Vasicek model”, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, pp. 219–232.

8. Mallier, R. and Deakin, A. (2010), “An Analytic Solution for a Vasicek Interest Rate Convertible Bond Model ”, Journal of Applied Mathematics, vol. 10, pp. 109–113.

9. Yanishevs'kyj, V. S. (2014), Option price dynamics equation and models of quantum mechanics, Zhurnal fizychnykh doslidzhen', vol. 18, no 1, pp. 1005:1-1005:7.

10. In’t Hout, K. (2010), “ADI finite difference schemes for option pricing in the Heston model with correlation”, International Journal of Numerical Fnalysis and Modeling, no. 2, pp. 303-320.

11. Kuchuk-Iatsenko, S. and Mishura, Y. (2015), Option pricing in the model with stochastic volatility driven by Ornstein–Uhlenbeck process. Simulation”, Modern Stochastics: Theory and Applications, no. 2, pp. 355-369.

12. Kleinert, H. (2004), Path integrals in quantum mechanics, statistics, polymer physics and financial markets, 3rd ed, World Scientific Publishing,  Singapor.

13. Krylov, G. G. (2011), Tochno i kvazitochno reshaemye modeli v kvantovoj mehanike i stohasticheskoj dinamike [Exactly and quasi-exactly solvable models in quantum mechanics and stochastic dynamics],  BSU, Minsk, Belarus.

14. Abramovic, M. Stigan, I. (1979), Spravochnik po special'nym funkcijam [Directory of special functions], Nauka, Moscow, Russia.

15. Blanes, S. Casas, F. Oteo, J. and Ros, J. (2009), “The Magnus expansion and some of its applications”, Physics Reports, no. 470, pp. 151-238.

16. Lyuu, Y.-D. (2004), Financial engineering and computation, Cambridge University Press, Cambridge, UK.

17. Vladimirov, V.S. Zharinov, V. V. (2004), Uravnenija matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics], Fizmatlit, Moscow, Russia.

 

Стаття надійшла до редакції 10.05.2017 р.