УДК 517.95:336.763.2

 

С. Д. Волощук,

к.ф.-м.н., доцент кафедри економіко-математичного моделювання,

ДВНЗ «Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана», м. Київ

 

МОДЕЛЮВАННЯ ВАРТОСТІ ОПЦІОНУ НА ОСНОВІ РІВНЯННЯ БЛЕКА-ШОУЛСА

 

S. Voloshchuk,

PhD, associate professor of economic and mathematical modelling department,

SHEI «Kyiv National Economic University named after Vadym Hetman»

 

OPTION VALUE MODELING ON THE BASIS OF BLACK-SHOALS EQUATION

 

В статті розглянуто рівняння Блека-Шоулса і побудовану на його основі диференціальну стохастичну модель ціни опціону європейського типу. Поставлено завдання визначити функцію ціни опціону. Для цього використовувались додаткові умови. Першою додатковою умовою є умова вартості опціону в момент реалізації акції. Другою додатковою умовою є умова вартості опціону, коли ціна акції прямує до нуля. Отриману диференціальну модель перетворено до системи функціональних рівнянь. Ця система розв’язана наближено, згідно з середньоквадратичним критерієм. На основі отриманих розв’язків побудовано функцію ціни опціону. Ця функція є точним розв’язком диференціального рівняння моделі та наближено задовольняє додаткові умови. Отримано умови точності та однозначності розв’язку поставленої задачі.

 

In this article the equation of Black Shoals is considered and differential stochastic model of price for European-style option was create. The tasks to determine the function of the option price was put up. For this purpose additional conditions was used. The first such additional condition is the condition of option value at the shares sale moment. The second additional condition is the condition of option value when the share price goes down to zero. The differential model was converted to a system of functional equations. According to the root-mean-square criterion the approximate solution for the system of equations was received. Based on this solution a function of option price was obtained, which is a precise solution of the differential equation models and approximately satisfy to the above-mentioned additional conditions. Conditions of accuracy and uniqueness of the solution of the problem was also received.

 

Ключові слова: опціон, ціна опціону, додаткові умови, система рівнянь, середньоквадратичний критерій.

 

Keywords: option, option price, additional conditions, system of equations, root-mean-square criterion.

 

 

Вступ.

У фінансовому забезпеченні економічної діяльності підприємства важливу роль відіграють опціони, які є похідними цінними паперами від акцій, іноземної валюти, ф’ючерсних контрактів, товарів та інших активів. Існує два основних типи опціонів: колл опціон та пут опціон. Вони забезпечують право своїм власникам у певний момент часу придбати (для пут опціону продати) фінансовий актив опціону по визначеній заздалегідь ціні. Крім того, опціони поділяють на американські та європейські. Американський опціон може використовуватись у будь-який час до визначеної дати, а європейський – лише у визначену дату.

Поставимо питання практично визначити вартість похідного цінного паперу в залежності від вартості активу, який є його фінансовою основою. Опишемо методику визначення вартості колл опціону європейського типу, який є похідним цінним папером від акції.

Введемо функцію  ціни акції, залежну від часу . Тоді нехай у деякий момент часу  була укладена угода (тобто придбано колл опціон) про те, що у майбутній момент часу ,  власник опціону має право придбати (а власник акції зобов’язаний продати) акцію по погодженій згідно опціону у момент часу  ціні , незважаючи на ціну акції у момент часу . Отже, як видно з сказаного вище, ціна опціону залежить від ціни його активу і часу. Тому функцію , яка визначає ціну опціону, будемо шукати як функцію двох змінних.

Вважається [1, 2], що ціна акції є випадковою величиною, яка у момент часу  відома, а в усі наступні моменти часу задовольняє стохастичне рівняння

,

яке в формі Іто матиме вигляд

,

де  – вінерівський процес (тобто , ), а  і  – константи. Тоді ціна опціону також є випадковою величиною, яка буде задовольняти стохастичне диференціальне рівняння Блека-Шоулса [1, 2]:

,

де  – волатильність акцій, а  – безризикова процентна ставка.

Очевидно, що ціна колл опціону повинна бути менша за ціну акції, тобто , оскільки в протилежному випадку є сенс зразу придбати акцію. Також зрозуміло, що ціна опціону, фінансовий актив якого рівний нулю також рівна нулю, тобто .

Якщо моменти часу  і  співпадають (), то можливими є два випадки:

, ;

, .

Тоді для функції  можемо записати додаткову умову:

Таким чином модель, що описує динаміку ціни опціону, представляється наступною задачею [1]:

,                       (1)

,                                                                                                                               (2)

. (3)

Постановка задачі.

Розглянемо модель (1), (2)–(3) ціни опціону на деякому скінченому проміжку цін акцій  та деякому скінченому часовому проміжку , де  час купівлі акції згідно колл опціону. Нижню межу  проміжку цін акцій виберемо на стільки низькою, щоб не було сенсу купувати опціон, тобто щоб його ціна при ціні акції  була рівна нулю у будь-який момент часу. Тоді функцію ціни опціону  будемо шукати як розв’язок наступної задачі:

,                 (4)

                                                                                                                                    (5)

,                                                                                                                        (6)

. (7)

Задачу (4), (5)–(7) можна вважати задачею спостереження, оскільки відомими є ціни опціонів у кінцевий момент часу  і при початковій вартості акції .

Спростимо задачу (4), (5)–(7), послідовно виконавши наступні заміни:

;

, , .

Тоді диференціальна модель ціни опціону матиме вигляд:

,                            (8)

,                                                                                 (9)

,                                                  (10)

,                                                                  (11)

де

.

Рівняння (8) є однорідним параболічним рівняння з двома змінними [3], яке описує процеси дифузії, теплопровідності та масопереносу. Проте розв’язати задачу (8), (9)–(11) класичними методами диференціальних рівнянь та математичної фізики важко. Постановка задачі (8), (9)–(11) схожа на постановку першої крайової задачі для рівняння параболічного типу [3]. Однак додаткова умова (11) визначає значення функції  в точках інтервалу , а не на кінцях інтервалу , тому вона не є крайовою умовою в класичному розумінні. Разом з тим додаткові умови (9)–(10) не визначають значення функції  на всьому інтервалі  при , тому вони не є початковими умовами. Отже постановка задачі (8), (9)–(11) є некоректною в класичному розумінні, а тому побудувати невідому функцію  класичними методами буде важко.

Знайдемо функцію  наближено. Вона повинна точно задовольняти рівняння (8), а додаткові умови (9)–(11) повинні виконуватись наближено, згідно середньоквадратичного критерію

. (12)

Побудуємо функцію , використовуючи методику, розроблену в роботі [4] і використану в роботі [5] для моделювання динаміки гіперболічних систем. В результаті застосування цієї методики отримаємо множину  функцій, які будуть точними розв’язками рівняння (8), а додаткові умови (9)–(11) задовольнятимуться наближено, згідно середньоквадратичного критерію (13). Вибравши в якості функції  довільний елемент множини  та застосувавши заміни, обернені до зроблених вище, отримаємо функцію , яка моделюватиме ціну опціону європейського типу. Також визначимо середньоквадратичну нев’язку системи умов (9)–(11) та запишемо умови однозначності множини  (умови, за яких функція  буде єдиною).

Розв’язання задачі.

Праві частини додаткових умов задачі (8), (9)–(11) є явно заданими неперервними функціями. Тому, згідно розробленої в роботі [4] методики, додаткові умови (9)–(11) подамо у вигляді системи функціональних рівнянь, яку розв’яжемо наближено, згідно середньоквадратичного критерію.

За цією методикою невідому функцію  будемо шукати у вигляді:

,                                                             (13)

де  – розв’язок диференціального рівняння (8) в нескінченній області  без врахування додаткових умов (9)–(11); ,  – невідомі функції, які визначають вплив на функцію  умов (9) та (10) відповідно;  – невідома функція, яка визначає вплив умов (11) на функцію .

Як і в роботах [5, 6] проведемо дискретизацію наступних проміжків:

сегмента  та часового проміжку  точками ;

сегмента  і фіктивного часового проміжку  точками ;

сегмента  і фіктивного часового проміжку  точками ;

області  і часового проміжку  точками .

Відомо [3, 6], що при наявності фундаментального розв’язку  оператора, породженого диференціальним рівнянням, функцію  можна записати у вигляді:

,                                                       (14)

де

 – фундаментальний розв’язок [3] диференціального оператора , породженого рівнянням (8);

 – права частина рівняння (8);

 – функція Хевісайда.

Оскільки , то .

По аналогії з (14), замінивши інтеграли відповідними сумами, функції , ,  представимо у вигляді:

,                                                                        (15)

,                                                                      (16)

,                                                                            (17)

де

 – невідомий вектор-стовпець розмірності ;

 – невідомий вектор-стовпець розмірності ;

 – невідомий вектор-стовпець розмірності .

Підставивши суму (13) в умови (9)–(11), отримаємо систему

,

,

,

яка з врахуванням функцій (15)–(17) матиме вигляд:

              (18)

Тоді невідомі вектор-стовпці , ,  отримаємо як наближені середньоквадратичні розв’язки системи (18).

Представимо систему (18) у більш зручному для розв’язування матрично-векторному вигляді, ввівши наступні позначення:

,

,

,

,

,

.

Тоді система функціональних співвідношень (18) зведеться до наступного матрично-векторного рівняння:

. (19)

Враховуючи введені вище позначення, середньоквадратичний критерій (12) матиме вигляд:

                             (20)

Згідно [4, 6] всі невідомі вектор-стовпці , які задовольняють рівняння (19) в розумінні середньоквадратичного критерію (20), будуть належати множині

,                                                                                                     (21)

де

 – довільний дійсний вектор-стовпець розмірності ,

 – вектор розмірності ,

 – матриця, псевдообернена [7] до матриці ,

 – матриця розмірності .

Сумарна середньоквадратична нев’язка системи (19), яка виникає при підстановці в неї елементів , визначається за формулою:

. (22)

Однозначність множини (21) залежить від визначника матриці . Зокрема множина  буде однозначною, коли

,

і міститиме безліч елементів, коли

.

Цілком зрозуміло, що нев’язка  матрично-векторного рівняння (19) буде нев’язкою системи рівнянь (18), а отже і системи додаткових умов (9)–(11). Так само умова однозначності множини  забезпечує існування єдиного вектора , а отже і функцій (15), (16), (17), сума яких (функція ) є розв’язком задачі (8), (9)–(11) згідно середньоквадратичного критерію (12). Слід відмітити, що функція  буде точним розв’язком [6] диференціального рівняння (8).

Запишемо деякий вектор  з множини :

.

Тоді множина  функцій  буде такою:

Маючи функцію  та використавши заміни , , отримаємо функцію

.

Тоді функція

буде моделлю ціни опціону європейського типу.

Висновки.

В статті розглянуто диференціальну модель ціни опціону європейського типу, фінансовим активом якого є акція. Динаміка ціни опціону описується параболічним рівнянням Блека-Шоулса. При цьому використовуються додаткові умови, що визначають вартість опціону в момент реалізації акції, та вартість опціону, коли ціна його акції прямує до нуля. Функцію ціни опціону побудовано так, що вона точно задовольняє рівняння Блека-Шоулса, а додаткові умови моделі виконуються в середньоквадратичному сенсі. Для цього система додаткових умов була зведена до матрично-векторного рівняння, отриманого з використанням фундаментального розв’язку диференціального оператора, породженого рівнянням Блека-Шоулса. Середньоквадратичний розв’язок цього рівняння і є моделлю ціни опціону.

Запропоновану модель можна використовувати для дослідження динаміки цін колл та пут опціонів, для побудови прогнозу щодо вартості опціону, а також для керування процесом зміни вартості акцій.

 

Література.

1. Ерофеенко В.Т. Уравнения с частными производными и математические модели в экономике: курс лекций / В.Т. Ерофеенко, И.С. Козловская. – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 248 с.

2. Медведев Г.А. Математические модели финансовых рисков. Часть 1. Риски из-за неопределенности процентных ставок / Г.А. Медведєв. – Мн.: Белгосуниверситет, 1999. – 257 с.

3. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – Изд. 5-е стер. – М.: Наука, 1977. – 736 с.

4. Кириченко Н.Ф. Аналитическое представление матричных и интегральных линейных преобразований / Н.Ф. Кириченко, В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. – 1998. – № 3. – С. 90-104.

5. Стоян В.А. Про моделювання задач динаміки гіперболічних систем / В.А. Стоян, С.Д. Волощук // Доповіді Національної академії наук України. – 2003. – № 2. – С. 71-77.

6. Стоян В.А. Математичне моделювання лінійних, квазілінійних і нелінійних динамічних систем: монографія / В.А. Стоян. – К.: Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет», 2011. – 320 с.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. – М.: Наука, 1966. – 576 с.

 

References.

1. Erofeenko, V.T. and Kozlovskaja, I.S. (2004), Uravnenija s chastnymi proizvodnymi i matematicheskie modeli v ekonomike: kurs lekcij [Partial differential equations and mathematical models in economics: a course of lectures], 2nd ed, Editorial URSS, Moscow, Russia, p. 248.

2. Medvedev, G.A. (1999), Matematicheskie modeli finansovyh riskov. Chast' 1. Riski iz-za neopredelennosti procentnyh stavok [Mathematical models of financial risks. Part 1: Risks due to the uncertainty of interest rates], Belgosuniversitet, Minsk, Belarus, p. 257.

3. Tihonov, A.N. and Samarskij, A.A. (1977), Uravnenija matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics], 5nd ed, Nauka, Moscow, Russia, p. 736.

4. Kirichenko, N.F. and Stojan, V.A. (1998), “Analytical representation of the matrix and integral linear transformations”, Kibernetika i sistemnyj analiz, vol. 3, pp. 90-104.

5. Stoian, V.A. and Voloshchuk, S.D. (2003), “The problem of modeling the dynamics of hyperbolic systems ”, Dopovidi Natsional'noi akademii nauk Ukrainy, vol. 2, pp. 71-77.

6. Stoian, V.A. (2011), Matematychne modeliuvannia linijnykh, kvazilinijnykh i nelinijnykh dynamichnykh system: monohrafiia [Mathematical modeling of linear, quasilinear and nonlinear dynamical systems: monograph],Vydavnycho-polihrafichnyj tsentr «Kyivs'kyj universytet», Kyiv, Ukraine, p. 320.

7. Gantmaher, F.R. (1966), Teorija matric [Matrix theory], Nauka, Moscow, Russia, p.576.

 

Стаття надійшла до редакції 20.04.2015 р.