ТЕОРІЯ РЕАЛЬНИХ ОПЦІОНІВ В ДОХОДНОМУ МЕТОДІ ОЦІНКИ АВТОМОБІЛЬНИХ ДОРІГ | Н М Соколова | Ефективна економіка №11 2017

УДК 625.7:338(477)

 

Н. М. Соколова,

к. е. н., доцент кафедри транспортного будівництва та управління майном,

Національний транспортний університет, м. Київ

Н. Ю. Хмура,

Асистент кафедри менеджменту, Національний транспортний університет, м. Київ

 

ТЕОРІЯ РЕАЛЬНИХ ОПЦІОНІВ В ДОХОДНОМУ МЕТОДІ ОЦІНКИ АВТОМОБІЛЬНИХ ДОРІГ

 

N. M. Sokolova,

Candidate of Economic Science, associate professor of Transport Construction and Property Management Department,

National Transport University, Kyiv, Ukraine

N. J. Hmura,

Assistant of Management Department, National Transport University, Kyiv, Ukraine

 

REAL OPTIONS THEORY IN THE REVENUE METHOD FOR ESTIMATING HIGHWAYS

 

Розглянуті моделі і методи оцінювання реальних опціонів на основі методу Віннея Датара-і Скотта Метьюза. Реальні опціони, закріплені в умовних вимогах договору державно-приватного партнерства, можуть підвищити привабливість проекту для приватного інвестора та для оцінки доріг як нерухомого майна. Виконаний аналіз методу В. Датара-С. Метьюза та моделі С. Джеймангла, Ю. Лавришина і К. Бартона свідчить про перспективність цього напряму у моделях оцінювання реальних опціонів в дорожніх концесіях, де за базовий актив приймається попит на дорожній рух. В теперішніх умовах, при відсутності достатньої кількості спостережених даних про об’єм дорожнього руху, прийняти або спростувати  GBM-гіпотезу неможливо. В статті для визначення вартості опціону запропонований підхід на основі ланцюга Маркова з кінцевою кількістю станів з дискретним часом. Запропонована модель реалізована в MS Excel.

 

The models and methods of evaluation of real options are considered on the basis of the method of Vinay Datar and Scott Mathews. The real options embodied in the conditional requirements of a public-private partnership contract may increase the attractiveness of a project for a private investor and for valuing roads as real estate. The analysis of V. Datara-S. Mathews method was carried out. and models by S. Jaimungal, Y. Lawryshyn and K. Barton testify to the promise of this trend in models of estimation of real options in road concessions, where the demand for traffic on the base asset is taken. In the present conditions, in the absence of sufficient amount of observable data on traffic volume, it is impossible to accept or refute the GBM hypothesis. In the article to determine the value of the option proposed approach based on the Markov chain with a finite number of states with discrete time. The proposed model is implemented in MS Excel.

 

Ключові слова: теорія реальних опціонів, метод Датара-Метьюза, GBM, ДПП, ланцюг Маркова.

 

Keywords: real options theory,Datar-Mathews method, GBM, PPP, Markov chain.

 

 

Постановка проблеми у загальному вигляді та її зв'язок із важливими чи практичними завданнями. Через брак фінансових ресурсів в державному секторі багатьох країн світу поширюється інвестиційні проекти, що здійснюються на засадах державно-приватного партнерства (ДПП). Наприклад, у розвитку автодорожньої інфраструктури набули поширення концесійні договори та договори життєвого циклу. Реалізація дорожніх проектів ДПП потребує значних незворотних інвестицій та здійснюється протягом багатьох років в умовах ризику і невизначеності.

Традиційний підхід до оцінки таких проектів базується на дисконтуванні грошових потоків (Discount Cash Flow – DCF), що включає чисту теперішню вартість (NPV) та інші форми. Принцип методу NPV полягає дисконтуванні прогнозованих грошових потоків до 0-го року для отримання чистої теперішньої вартості проекту. NPV повинна бути більшою від нуля, щоб виправдати інвестиції. Якщо NPV більше нуля, проект вважається прийнятним для виконання.

Для проектів, яким властиві велика невизначеність часу реалізації, витрат та грошових потоків, таких, наприклад, як оцінювання розвитку нерухомості, використання підходів DCF ускладнене в наступних трьох аспектах: по-перше, виборі фіксованої та відповідної ставки дисконту; по-друге, урахуванні нової інформації та зміни проекту; по-третє, визначення оптимального часу здійснення проекту.

Перспективним напрямом урахування цих аспектів вважається застосування так званих “реальних опціонів”, які дозволяють підвищити ефективність реалізації проекту ДПП за рахунок врахування гнучкості управлінських рішень. Вперше використання реальних опціонів в оцінці нерухомості було запропоноване в роботі [1]. Однак, теорія реальних опціонів, методологія їх оцінювання ще не знайшли належного практичного застосування в обґрунтуванні ефективності проектів ДПП. Проблема, на наш погляд, полягає у новизні і складності методів оцінки вартості реальних опціонів. Ці методи повинні враховувати особливості реальних опціонів, притаманних дорожнім інвестиційним проектам, потребують подальшого розвитку і максимального наближення до практичних потреб.

Аналіз досліджень і публікацій. Опціон дає право його власнику зробити щось. Власник може не скористатись цим правом [3, с. 8]. Спираючись на численні визначення, можна визначити реальний опціон як право, але не обов'язок зміни ходу реалізації проекту – право скористатись управлінською гнучкістю. Задачею теорії цінрутворення опціону є визначення ціни опціону, яку власник повинен сплатити за таку гнучкість.

Опціон на купівлю або продаж базового активу характеризується ціною опціону (premium), ціною виконання (strike, exercise), датою виконання (expiration date), виплатами (payoffs), які залежать від вартості базового активу. Є два класи опціонів [2, с. 7], опціон «колл» (call-option) і опціон «пут» (put-option). Опціон колл дає власникові право на купівлю активу, якщо ціна активу вище ціни виконання опціону на заздалегідь визначену дату в майбутньому. Опціон пут дає право продати актив за ціною виконання, якщо ціна активу впаде нижче ціни виконання в майбутньому. Якщо опціон може бути виконаний тільки у дату закінчення, то він європейського типу, якщо опціон може бути виконаний також раніше від встановленої дати, то - американського типу. Існують також інші типи опціонів [3, с. 574-588].

Умови опціонів вбудовуються в договори, які регулюють права та обов'язки для обох сторін. Умовна вимога (contingent claim) в договорі, або опціон, являє собою вимогу, виплата по якій проводиться тільки за певних умов: якщо вартість базового активу перевершує попередньо встановлену вартість виконання колл-опціону (опціону покупця), або ж вона виявиться менше попередньо встановленої вартості пут-опціону (опціону продавця) [2, с. 29]. Звична практика розрахунку NPV може призвести до помилкових результатів у той час, коли проект включає в себе певну гнучкість [3, с. 419].

Вартість опціону визначається шістьма змінними, які зв’язані з базовим активом і фінансовими ринками [2, с. 119-120]. До них входять: поточна вартість базового активу; дисперсія вартості базового активу; дивіденди, що сплачуються по базовому активу; ціна виконання опціону; дата закінчення дії опціону; безризикова процентна ставка, яка відповідна тривалості життя опціону.

Можна виділети чотири головних види моделей оцінювання реальних опціонів [4]:

-     формула Блека-Шоулза (1973 р.) на основі рішення диференціального рівняння, в якому використовується модель геометричного броунівського руху (GBM) для отримання неперервне логонормальне розподілення майбутньої вартості активу. Очікуване значення розраховується як середньозважена імовірність  позитивної сторони майбутнього розподілення вартості, яка дисконтується за безризиковою ставкою прибутковості, однаковою для доходів і витрат. Рішення здійснюється на основі аргументу реплікації (будь-які два активи, які дають ті ж грошові потоки при тих же обставинах, повинні мати однакову ціну) та базується на жорстких припущеннях щодо ринків (повні, ефективні, безарбітражні);

-     біноміальна модель Кокса-Росса-Рубінштейна (1979 р.) з дискретними подіями. В ній: для отримання майбутнього розподілення вартості використовується біноміальне дерево. Щоб знайти вартість опціону застосовуються зворотні ітерації, які включають дисконтування за безризиковою ставкою, однаковою для витрат і доходів. Модель також спирається на жорсткі припущення щодо ринків. Для моделювання необхідна вхідна інформація про стандартне відхилення та імовірності підвищення /зниження (up/down) вартості;

-     метод Датара-Метьюза (2004 р.) на основі імітаційного моделювання, в якому: майбутнє розподілення вартості базується на трьох сценаріях грошових потоків проекту, необхідних для побудови гістограми розподілення вартості методом Монте-Карло, на основі якого розраховується очікуване значення як середньозважене позитивної сторони гістограми розподілення вартості. Ставки дисконтування можуть бути окремими для витрат і доходів, також відсутні жорсті обмеження про ринки;

-     метод нечітких виплат (payoff) Коллана (2009 р.) на основі теорії нечітких множин, в якому: будується 3-4 традиційних сценарії грошового потоку і створюється розподілення чистої теперішьої вартості з використанням нечітких чисел, де ставки дисконтування можуть бути окремими для витрат і доходів та відсутні жорсті обмеження щодо ринків.

В цій статті ми розглянемо метод Датара-Метьюза (далі - DM) [5, 6, 7], який не вимагає жорстких вимог про досконалість ринку, про відсутність арбітражу та використовує заперечення ринкових активів (Market Asset Disclaimer – MAD), що є доречним для оцінки автомобільних доріг, які не торгуються на ринку.

Процес багатоетапного моделювання в DM  передбачає побудову трьох сценарів: оптимістичного, найбільш ймовірного і песимістичного, які є прогнозами операційного прибутку. На рис. наведений графік з цих трьох сценаріїв, які утворюють конус невизначеності. Річні значення песимістичних, найбільш ймовірних і оптимістичних параметрів складають кути трикутного розподілу діапазону NPV. Вартість запуску проекту також представляється як трикутний розподіл.

Методом Монте-Карло отримуються випадкові реалізації значень з трикутних законів річних розподілів операційних надходжень і витрат на запуск шляхом розрахунку NPV з корекцією на неприйняття ризику та можливого прийняття економічних рішень. У методі DM використовує дві ставки дисконтування: одна для проектних операційних доходів, на які впливає ринковий ризик, друга для відносно безпечних контролюємих інвестицій в проект. Діапазони розподілу операційних надходжень та витрат на запуск дисконтуються до року 0. Результатом є гістограма розподілу чистої прибутку за рік, на основі правого хвоста +NPV якого визначається середньозважена вартість опціону (рис. 1б):

 

                                                                                    (1)

 

де CRO - вартість реального опціону; RAP - імовірність, скоригована з урахуванням ризику; M+NPV - середнє значення позитивних реалізацій NPV (рис. 1б).

Або

 

                                          (2)

 

де CRO   - вартість реального опціону; i - номер сценарію; N - кількість сценаріїв; OPi - операційний прибуток; LCi - витрати на запуск; δi = 1, якщо OPi > LCi, інакше δi = 0.

 

Рис. 1. Схема для в изначення ціни опціону

Джерело:[7]. Адаптовано авторами

 

Проте, в методі DM, як він викладений в роботі [7], модельований грошовий потік наступного року вважається незалежним від попереднього року, отже відсутній механізм зв’язування грошових потоків від одного року до наступного.

Подальший розвиток підхід, подібний методу Датара-Метьюза, отримав в роботах Джеймангла, Лавришина та Бартона [8, 9, 10]. В роботі [10] Джеймангл і Лавришин виділяють три ключових результати своїх досліджень, що враховують стислий погляд менеджерів на вартість проекту, а також неповноту ринку.

По-перше, вони припускають, що оцінка майбутнього грошового потоку у вигляді трьох сценаріїв забезпечується менеджером у формі послідовності {Fk*: k =1,…,n} ймовірносних розподілень у послідовності {Tk: k =1,…,n} дат платжів, що може розглядатись як вхідні дані моделі, які інкапсулюють менеджерський погляд. Ці вхідні дані можуть бути просто з трикутними, нормальними, логонормальними чи іншими неперервними щільностями розподілу.

По-друге, автори припускають, що існує базовий стохастичний процес, що не торгується, St, названому стохастичним драйвером (індикатором ринкового сектору), прийнятий як процес Іто, який буде вести грошовий потік. Однозначно визначається послідовність відображень φk R → R між стохастичним драйвером і менеджерською специфікацією розподілень грошового потоку, які відображують трансформований стохастичний драйвер φk(Stk), рівним по розподілу специфікованому менеджером розподілу Fk*. Таким чином, хоча використовується базовий стохастичний процес, цей процес відображається так, що він точно відповідає колекції призначених менеджером розподілів.

По-третє, автори припускають, що стохастичний драйвер корелює з індексом, який торгується на ринку, який є GBM. Цей ринковий індекс дозволить частково хеджувати реальні опціони, але кореляція може бути нульовою. У такому випадку відсутнє часткове хеджування. Нарешті, враховується послідовність грошових потоків, а також відображення між стохастичним драйвером та розподілом грошових потоків.

Як і багато інших дослідників, автори робіт [8, 9, 10] для прогнозування доходу застосовують моделі на основі диференціальних рівнянь, зокрема в частинних похідних, вживаючи GBM та використовуючи тим чи іншим способом апарат реплікації.

У роботі [11] для платних доріг припускається, що трафік (об’єм дорожнього руху) та, відповідно, дохід змінюються стохастично за GBM. Ця модель передбачає, що дохід ніколи не може бути негативним, а його волатильність постійна в часі:

 

dR = αRdt + σRRdz,                                                                                (3)

 

де dR - додаткова зміна доходу протягом короткого періоду часу dt; α - швидкість зростання доходу за короткий проміжок часу dt; σR - волатильність доходу; dz = ε√dt, де ε ~ N (0,1) - стандартний процес Вінера[1].

З допомогою процесу Іто[2] можна показати, що цей GBM може бути представлений стохастичною еволюцією повернень, як показано у рівнянні (4), який можна дискретно моделювати у річних періодах як функцію значення у попередньому періоді, як показано у рівнянні (5) [11]:

 

                                                               (4)

 

                                                                  (5)

 

Як стверджують автори роботи [11], цей процес можна повністю визначити, враховуючи лише його початкове значення R0, річний темп зростання та волатильність процесу, які вважаються постійними протягом концесійного періоду, де рівняння (4) являє собою справжній процес еволюції доходів проекту. З іншого боку, для того, щоб оцінити гарантії, необхідно використовувати ризик-нейтральну процедуру, коли премія за ризик віднімається від очікуваної віддачі основного активу, замінивши її справжню дохідність безризиковою нормою повернення.

Отже, намагання описати прогноз NPV дорожнього інвестиційного проекту ДПП аналітичними методами є вкрай утрудненим.

Формулювання цілей статті. Мета статті полягає в розробці методу, подібному методу Датара-Метьюза, з побудовою зв’язку майбутніх доходів з попередніми.

Виклад основного матеріалу дослідження. Пропонована модель базується на ідеях методу Датара-Метьюза [5, 6, 7] та його удосконаленні Джеймунгалом і Лавришиним [8, 9, 10].

Головним джерелом операційних доходів в проектах платних автомобільних доріг ДПП є плата за проїзд, яка  визначається об’ємом дорожнього руху. Проблема прогнозування об’єму дорожнього руху на довгострокову перспективу є фундаментальною. Істотним в теоретичних моделях реальних опціонів прогнозу дорожнього руху є припущення, що варіація дорожнього руху може бути змодельована як стохастичний процес (GBM-гіпотеза) [11, 12]. В статті [12] наводяться результати тестування для перевірки гіпотези GBM для оцінки інтенсивності руху на основі серії даних за 30-річний період спостережень. Головним результатом аналізу є те, що гипотеза про випадковий процес зміни дорожнього руху за GBM не підтверджується, але й не спростовується. Тому, на думку авторів [12], GBM-гіпотеза може бути застосована до оцінки дорожньої концесії. Проте, припущення щодо логнормального розподілу випадкової величини базового активу, у даному випадку дорожнього руху, який не має достатньої кількості статистичних даних, визиває сумнів.

На нашу думку, для прогнозування дорожнього руху більш доцільно застосовувати багатофакторне прогнозування, яке базується на економіко-статистичному моделюванні залежностей між показниками інтенсивності руху і найбільш значимими факторами, що визначають їх величину. В Україні, нажаль, майже відсутні ретроспективні дані спостережень, на базі яких можна було б перевірити гіпотезу GBM. Отже, на сьогодні більш доцільно скористатись традиційними методами, які звичайно застосовуються в проектуванні доріг.

Тому, на відміну від випадкового процесу GBM, у пропонованій нами моделі застосовується випадковий процес Маркова з кінцевою кількістю k станів E1,…,Ek та дискретним часом t1,…,tn.

Імовірність переходу із стану Ei (у момент tn) до стану Ej у момент tn+1 зветься перехідною ймовірністю ланцюга. Ланцюг Маркова задається матрицею переходів P, елементами якої є перехідні імовірності, а також вектором ймовірностей станів системи у початковий момент часу t1. Якщо всі перехідні імовірності не залежать від часу, тоді ланцюг Маркова називається однорідним. При будь-якому фіксованому i, сума елементів кожного рядка дорівнює одиниці. Загальний елемент pij цієї матриці має два індекси: перший визначає номер стану i в даний момент часу tn, а другий – номер майбутнього стану j, в який перейде система в момент tn+1.

Сутність пропонованого методу полягає в наступному. Формуються три сценарії прогнозу операційного прибутку: песимістичний, найбільш ймовірний та оптимістичний, подібні наведеним на рис. 1а. Для кожного року t створюється трикутне розподілення імовірності операційного прибутку, задане кумулятивною функцією трикутного закону розподілу F(X) з параметрами a - песимістичний, c - найбільш ймовірний та b - оптимістичний (рис. 2).

Генерування значень випадкових величин методом Монте-Карло здійснюється шляхом отримання значення U випадкової величини, рівномірно розподіленої в інтервалі (0, 1), а за інтегральною функцією трикутного розподілу з параметрами мінімального значення (a), максимального значення (b) та моди (c), - визначення x* - модельованого значення випадкової величини X;

 

             (7)

 

                                                     (8)

 

Ланцюг Маркова моделюється таким чином. У першому році здійснення проекту методом Монте-Карло визначається стан з кінцевої множини станів k (у наведеному прикладі задано п'ять станів). На рис. 2 - це третій стан, в який випало рівномірно розподілене в інтервалі [0, 1) випадкове число U. Стрілками показана процедура отримання конкретного шуканого значення операційного прибутку x* для поточної реалізації сценарію по формулам (7) і (8).

 

Рис. 2. Функція трикутного розподілу з дискретним станам ланцюга Маркова

 

Стан другого року визначається через квадратну матрицю перехідних ймовірностей розміром k x k, які, з-за відсутності історичних даних, задаються експертним методом.

Конкретне значення операційного доходу у другому році знов здійснюється способом, наведеним на рис. 2. Процес повторюється по рокам періоду здійснення інвестиційного проекту ДПП. Вартість реального опціону визначається формулою (2)

Запропонована модель реалізована у середовищі MS Excel. На рис. 3 наведені результати розрахунку вартості реального опціону (самого інвестиційного проекту).

Слід зауважити, що розрахунок кожного з трьох вхідних сценаріїв являє собою досить трудомістку задачу. Для її розв’язання авторами використовувалась Numerical Model for Financial Simulation of Highway PPP Projects PPIAF. Фрагмент розрахунку операційних доходів наведений на рис. 4.

 

Рис. 3. Результати моделювання

 

Висновки. Додатковим джерелом приросту цінності інвестиційного проекту автомобільної дороги в умовах ДПП є вартість реальних опціонів, які реалізують гнучкість управління. Вартість реальних опціонів оцінюється моделями, які належать до чотирьох груп моделей і методів: Блека-Шоулза, Кокса-Росса-Рубінштейна, Датара-Метьюза та Коллана.

 

Рис. 4. Фрагмент розрахунків сценарію для моделювання

 

Намагання тим чи іншим способом застосувати для оцінки вартості реальних опціонів диференціальні рівняння у часткових похідних представляєтьс неадекватним або передчасним, тому що дороги не торгуються на ринку, реальністю сьогодення є недосконалість ринку, арбітраж тощо. Крім того, існуюча статистика щодо інтенсивності дорожнього руху в Україні є недостатньою і фрагментарною, а платних доріг ще не збудовано.

На нашу думку, запропонована імітаційна модель після подальших досліджень дасть можливість подолати деякі суттєві утруднення, що супроводжують аналітичні моделі, отже, може бути корисною для практичного застосування.

 

Література.

1. Titman Sheridan. Urban Land Prices Under Uncertainty [Електронний ресурс] / Sheridan Titman // The American Economic Review, Vol. 75, No. 3. (Jun., 1985), pp. 505-514. – Режим доступу: http://digilander.libero.it/vergalli/pdf/17.pdf.

2. Дамодаран А. Инвестиционная оценка: Инструменты и методы оценки любых активов [Електронний ресурс] / Асват Дамодаран ; Пер. с англ. — 5-е изд. — М. : Альпина Бизнес Букс, 2008. — 1340 с. - Режим доступу: https://new.vk.com/doc218018909_236081303?hash=c059bbd97c6ae3e399&dl=256efc57ac352c185b.

3. Hull John C. Options, Futures, and other Derivatives. Eighth edition [Електронний ресурс] / John C. Hull // Prentice Hall, 2012. 863 p. – Режим доступу: http://polymer.bu.edu/hes/rp-hull12.pdf.

4. Collan M. (2011). Modeling Choices in the Valuation of Real Options: Reflections on Existing Models and Some New Ideas [Електронний ресурс] / Mikael Collan // – Режим доступу: http://realoptions.org/openconf2011/data/papers/24.pdf.

5. Datar Vinay and Mathews Scott European Real Options An Intuitive Algorithm for the Black-Scholes Formula [Електронний ресурс] / Vinay Datar and Scott Mathews // Journal of Applied Finance — Spring/Summer 2004. 7 p. - Режим доступу: https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=560982.

6. Datar–Mathews method for real option valuation [Електронний ресурс] / – Режим доступу: https://en.wikipedia.org/wiki/Datar%E2%80%93Mathews_method_for_real_option_valuation.

7. Mathews Scott Valuing Risky Projects with Real Options [Електронний ресурс] / Scott Mathews // Research-Technology Management, 52:5, 32-41. 2009. – Режим доступу: http://dx.doi.org/10.1080/08956308.2009.11657587.

8. Jaimungal  S. and Lawryshyn Y. A Practical Approach to Modeling Managerial Risk Aversion in Real Option Valuation for Early Stage Investments [Електронний ресурс] / Sebastian Jaimungal and Yuri Lawryshyn // 2010. – 23 p. – Режим доступу: http://realoptions.org/openconf2012/data/papers/68.pdf.

9. Barton K, Lawryshyn Y. Reconciling Real Option Models An Approach to Incorporate Market and Private Uncertainties [Електронний ресурс] / Kelsey Barton, Yuri Lawryshyn // 2010. 21 p. – Режим доступу: http://www.realoptions.org/papers2010/106.pdf.

10. Jaimungal  S. and Lawryshyn Y. Incorporating Managerial Information into Real Option Valuation [Електронний ресурс] / Sebastian Jaimungal and Yuri Lawryshyn // 2010. – 25 p. – Режим доступу: http://ssrn.com/abstract=1730355.

11. Brandão L.E.T. and Saraiva E.C.G. Valuing Government Guarantees in Toll Road Projects [Електронний ресурс] / L.E.T. Brandão and E.C.G. Saraiva // Pontifical Catholic University of Rio, 2009. – Режим доступу:  http://www.iag.puc-rio.br/~brandao/Pesquisa/Value%20of%20Gov%20Guarantees%20-%20Brandao%20and%20Saraiva%20V1.pdf.

12. Colín F. C.. Empirical Analysis of Traffic Volume for the Application of the Options Theory to Highway Concessions [Електронний ресурс] / F. C. Colín, A. S. Soliño, A.L.L. Galera // 13th World Conference on Transport Research, July 15-18, 2013 – Rio de Janeiro, Brazil. – Режим доступу: http://www.wctrs-society.com/wp/wp-content/uploads/abstracts/rio/selected/1069.pdf.

 

References.

1. Titman Sheridan. Urban Land Prices Under Uncertainty / Sheridan Titman // The American Economic Review, Vol. 75, No. 3. (Jun., 1985), pp. 505-514. , available at: http://digilander.libero.it/vergalli/pdf/17.pdf. (Accessed 31 October 2017).

2. Damodaran A., (2008), “Investment Valuation: Tools and methods of assessment of any assets”,  Alpina Biznes Buks, [Online], vol. 5, pp. 1340, available at: https://new.vk.com/doc218018909_236081303?hash=c059bbd97c6ae3e399&dl=256efc57ac352c185b. (Accessed 1 Aug 2016).

3. Hull John C., (2012), “Options, Futures, and other Derivatives”, Prentice Hall, [Online], vol. 8, pp. 863, available at:  http://polymer.bu.edu/hes/rp-hull12.pdf. (Accessed 4 Aug 2016).

4. Collan M., (2011), “Modeling Choices in the Valuation of Real Options: Reflections on Existing Models and Some New Ideas”, [Online], avaliable at:  http://realoptions.org/openconf2011/data/papers/24.pdf. (Accessed 16 July 2016).

5. Datar Vinay and Mathews Scott European Real Options An Intuitive Algorithm for the Black-Scholes Formula [Електронний ресурс] / Vinay Datar and Scott Mathews // Journal of Applied Finance — Spring/Summer 2004. 7 p., avaliable at:  https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=560982. (Accessed 31 October 2017).

6. Datar–Mathews method for real option valuation, available at: https://en.wikipedia.org/wiki/Datar%E2%80%93Mathews_method_for_real_option_valuation.

7. Mathews Scott Valuing Risky Projects with Real Options / Scott Mathews // Research-Technology Management, 52:5, 32-41. 2009, available at: http://dx.doi.org/10.1080/08956308.2009.11657587. (Accessed 31 October 2017).

8. Jaimungal  S. and Lawryshyn Y. A Practical Approach to Modeling Managerial Risk Aversion in Real Option Valuation for Early Stage Investments / Sebastian Jaimungal and Yuri Lawryshyn // 2010. – 23 p. , available at: http://realoptions.org/openconf2012/data/papers/68.pdf. (Accessed 31 October 2017).

9. Barton K, Lawryshyn Y. Reconciling Real Option Models An Approach to Incorporate Market and Private Uncertainties / Kelsey Barton, Yuri Lawryshyn // 2010. 21 p. , available at: http://www.realoptions.org/papers2010/106.pdf. (Accessed 31 October 2017).

10. Jaimungal  S. and Lawryshyn Y. Incorporating Managerial Information into Real Option Valuation / Sebastian Jaimungal and Yuri Lawryshyn // 2010. – 25 p. , available at: http://ssrn.com/abstract=1730355. (Accessed 31 October 2017).

11. Brandão L.E.T. and Saraiva E.C.G., (2006), “Valuing Government Guarantees in Toll Road Projects”, Pontifical Catholic University of Rio, [Online], avaliable at: http://www.iag.puc-rio.br/~brandao/Pesquisa/Value%20of%20Gov%20Guarantees%20-%20Brandao%20and%20Saraiva%20V1.pdf. (Accessed 16 July 2016). (Accessed 16 July 2016).

12. Colín F. C., Soliño A. S and. Galera A.L.L, (2013), “Empirical Analysis of Traffic Volume for the Application of the Options Theory to Highway Concessions”, 13th World Conference on Transport Research, [Online], pp. 15-18, avaliable at: http://www.wctrs-society.com/wp/wp-content/uploads/abstracts/rio/selected/1069.pdf. (Accessed 16 July 2016).

 


[1] Вінеровський процес в теорії випадкових процесів — це стохастичний процес з неперервним часом, що математично виражає випадкові блукання.

[2] Лема Іто використовується в стохастичному аналізі для знаходження диференціалу від функції, аргументом якої є випадковий процес. Назву отримала на честь японського математика Кійоші Іто. Лема є аналогом правила диференціювання складної функції в звичайному математичному аналізі.

 

Стаття надійшла до редакції 10.11.2017 р.